時間：2023-03-02 15:08:45
序論：在您撰寫大學概率論知識點總結時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
概率論與數理統計案例教學方法的應用中，案例的正確選擇非常重要，選擇合適的案例可以讓學生能更好的進入數學知識點的學習中，身臨其境的體會概率論與數理統計帶來的學習樂趣，使課堂氣氛變得活躍，從而提高教學質量，同時也增強了學生學習的主動性。例如：選擇概率和彩票的案例進行教學，教師可以適當對彩票的相關知識進行拓展；然后將概率和彩票的中獎率聯系起來，提出概率的運算思路，在其中添加統計的知識點，讓學生大膽的提出問題；最后，對概率和統計進行歸納，對概率和彩票中獎率的關系進行解答，增強學生的學習興趣，培養學生的獨立思考能力，從而達到案例教學的目的，促進教學質量的不斷提高。因此，正確選擇案例，活躍課堂氣氛，在教師的帶動作用下，數學教學可以變得很輕松愉悅，概率論與數理統計的教學質量可以得到快速提高，從而促進學生綜合素質能力的全面發展。
二、開放學生思維，明確教學目的
在數學教學過程中，學生是是教學的主體，每個人都有自己的思維能力，所以教師必須明確教學目的，使學生的思維得到盡可能的開放，促進學生探索創新能力的不斷提高。因此，教師在選擇案例時，要綜合評估學生的學習能力，對概率的概念、公式進行仔細講解，將統計知識點貫穿到整個課堂教學，使案例突出教學重點，達到知識點融匯教學的教學目的。開放課堂教學，不僅可以使學生掌熟練握更多的概率論與數理統計知識點，更能拉近學生與作者、學生與自己的師生距離，使師生之間的感情更加融洽，從而大大提高教學質量的目的。
三、有效組織教學，提高綜合能力
在數學學習是整個過程中，打好基礎是非重要的，因此，在概率論與數理統計的教學中運用案例教學，教師要有效組織教學，促進學生綜合能力的提高。針對概率論與數理統計的難點和易點，循序漸進的提升難度，讓學生熟練掌握每個知識點，培養學生敏捷的數學思維能力，不斷開闊學生的視野，使學生的概率論與數理統計分析能力變得更強，從而達到提高教學質量的目的。例如：針對籃球投籃問題，根據球隊人數的變化來計算投籃的概率，從最簡單的計算開始，隨著人數的變化，計算復雜程度也變得越來越高。這就是一個概率論與數理統計知識點逐漸加深的案例，通過這個案例教學，學生的思維能力可以不斷增強，綜合能力也會得到不斷提高。
四、課后教學總結，不斷改革創新
概率論與數理統計的教學中，案例教學方法應用的課后總結，是教師對課堂教學不足的完善，可以有效保證案例教學的教學質量，不斷創新教學方法和模式，同時促進教師自我的不斷提升。課后總結，分為學生的總結和教師的總結，學生通過總結，可以對案例教學進行仔細的分析，培養學生處理問題和解決問題的思路，提升學生實踐動手能力；教師總結時，對重點知識進行再度印象加深，促進學生不斷探索和創新，從而促進教師教學的不斷創新。
五、結束語
關鍵詞：概率論；微課；案例教學
基金項目：本文系石河子大學教育教學改革項目（編號KG-2013-13）
O211
Abstract：Probability theory and mathematical statistics is a mathematical subject with strong application. It has been widely used in many fields. This paper summarizes the author accumulated in the work on the teaching of probability theory and mathematical statistics teaching experience， including with micro class to strengthen the students' autonomous learning awareness， improve the efficiency of the classroom examples close to student's life to improve the students' learning interest， probability theory and science and the statistics of mathematical culture to strengthen the students to understand the course described.
概率與數理統計是一門理論性、應用性較強的數學公共基礎課，它在眾多領域都有廣泛的應用。如何在有限學時內開設該門課程，如何使學生領略其理論精髓、夯實基礎知識， 如何讓學生學會用所學概率統計知識解決實際問題， 教學中如何促進教學效率的提高和學生概率統計素質的優化等問題， 已經成為擺在高校講授概率論與數理統計課程的教師面前急需解決的一系列問題，是值得深入探索的問題。
通過這幾年本人講授概率統計這門課的情況來看，如果只采用一般傳統的教學方法，發現教學效果并不是很好，一是對于所要講授的內容課時有些不夠用，二是教學效果也不是很理想，大多數學生只記得公式、定理，至于怎樣運用不能靈活掌握。因此，要使學生能學好概率統計課程，提高學生對概率統計在生活實踐中的重要性的認識，必須采取有效的教學手段和方法。
一、在概率論與數理統計教學中靈活的運用微課
微課是指為使學習者自主學習獲得最佳效果，經過精心的信息化教學設計，以媒體形式展示的圍繞某個知識點或教學環節開展的簡短、完整的教學活動。微課講授的知識內容呈點狀，具有碎片化的特征。微課內容不僅可以在計算機上展示，還可以在多種移動終端設備播放。對于現今幾乎人人手握一部智能手機的學生來說，這有利于學生隨時隨地的自主學習。對教師來說，微課可以作為一種新的教學模式來利用，突破傳統的課堂教學模式。
由于教改的實施，在中學學生已經接觸過一部分概率與統計知識。具體的大學本科階段《概率論與數理統計》課程與普通高中階段“概率與統計”教學板塊的知識點及內容要求對比可參看參考文獻3。對于這部分內容，教師就可以事先做一些小微課，通過高中課本的一些典型例題，喚起學生對高中知識的記憶，進而給出一些概念的形式化描述，并提醒學生注意大學概率論與數理統計課程的抽象性與普通高中階段統計與概率教學直觀性的不同。這樣既可以使學生快速掌握大學階段的知識點，又可以避免重復講解，從而節約課時。
這里我們以概率論與數理統計中古典概型的講解為例分析微課教學內容與設計過程。
1.給出一個學生既熟悉又易理解的例子作為引入：設有3個房間，分給3個不同的人。每人都以 的概率進入每一個房間，而且每間房里的人數無限制。試求下列事件的概率：（1） ={不出現空房}；（2） ={恰好出現一間空房}；（3） ={恰好出現兩間空房}。
2.對問題進行分析，喚起學生對古典概型知識點的記憶，激發學生的學習興趣，促進學習的積極性，求解得到結果：3個房間分給3個不同的人共有 種不同的分法，
（1）不出現空房等價于每個房間都有一人，因此共有 種不同的分法，于是 ；
（2）恰好出現一間空房，即3個房間中的某一間是空的，另外兩間房中有一間房恰有兩人，剩余1間房為1人，故有 種分法，從而 ；
（3）恰好出現兩間空房，即3個人恰好住同一間房，故有3種分法，從而 .這種數字比較簡單的古典概型是學生中學比較熟悉的，他們可以很快的給出答案，學習的情緒會比較高。
3.對該問題進行深化，將例題中的數字增大或換成字母代替，設有 個房間，分給 個不同的人。每人都以 的概率進入每一個房間，而且每間房里的人數無限制。再依次計算1中事件A，B，C所發生的概率。這時對于有些同學會感到運算吃力，因為他們在中學學習時習慣于一個一個的數樣本空間和隨機事件當中樣本點的個數，對此我們要引導學生用排列組合的知識去找樣本空間和隨機事件中的樣本點的個數來計算古典概型。
4.留習題作為思考題，通過思考題，讓學生加強和鞏固新學的古典概型的知識點，并引導學生將古典概型的題型分成兩大類，對其進行歸納總結，另外，通過做題讓他們知道在生活中有更多的問題可用古典概型來解決。將留下的習題分析全過程再做成微課資源發給學生，對學生來說，就能更好的滿足個性化學習，這是傳統課堂學習的一種重要補充，也為課堂教學減少了工作量，更加有利于學生課后的自主學習。
微課具體設計主要是教師講解及PPT配合，微課只能作為一種輔助教學手段，不能為了省事或為了形式而使用微課。在概率論與數理統計教學中使用微課，是為學生自主學習提供有效支持，讓學生按自身的學習進度和節奏學習課程內容。
當然，微課不僅可以在課堂上使用，也可以在課前預習和課后復習中使用，這樣能更好的讓學生及時掌握所學知識，
二、教學案例要貼近實際生活與學生專業
概率統計來源于生活，日常生活中隨處可見它的身影，反過來，概率統計也應用于生產、生活及科學技術的各個領域。因此，概率統計的教學要注重緊密聯系實際，從實際生活中多尋找素材，展示概率統計的活力與魅力。在教學中盡可能多的選擇與學生身邊的生活相聯系的概率模型，對于經濟類的學生也可以多選擇一些與經濟有關的例題，這樣更有利于激發學生的學習興趣。比如我們在講伯努利概型時，可借助于買彩票的事例來講解，針對于一次實驗，事件發生的概率是微乎其微的，但當多次重復實驗時，獨立的小概率事件和也會變成大概率事件，由此也可以同時教育學生不以善小而不為，不以惡小而為之。這樣既講授了知識，又提高了學生的意識水平。
三、教師要更新教育理念
在課堂教學結構上，始終堅持以學生為主體， 以教師為主導的教學原則。要讓學生成為學習的主人， 讓他們積極主動地去參與教學，融入課堂。作為大學概率論與數理統計課程教學活動的組織者， 教師的任務是點撥、啟發、調控， 而這些都應以學生為中心。當然，這種方式要看學生的學習情況，對于學生整體自主學習比較好的班級，可以較多的讓學生來參與，自主性較差的班級還是需要老師多花些時間和精力去講授知識。
除了要更新上述觀念外，還要更新固有的傳統教學模式，在網絡和多媒體技術飛速發展的今天，要注重科學技術與概率論與數理統計教學過程相結合， 盡量提供大量的形象化電子版的概率統計例子，比如我們第一部分提到的微課，這不僅可以提高課堂教學效率，還可以讓那些沒能當堂掌握所學內容的同學能夠在課下更好的去查缺補漏。還有，在課堂上也可以制作一些比較美觀實用的課件，這樣可以減少抄題時間，而且對于一些動畫演示也比較直觀，是同學可以更好的接受所學內容。
四、概率統計教學中數學文化的滲透
數學是充滿人文精神的科學。數學文化對人的思想、人的精神世界、人文素質有著巨大的影響。在概率統計教學中融入一些人文化、生活化的知識點，則會讓概率統計的學習難度性達到降低。而概率統計學本身就與人們的生活存在緊密的聯系，同時也間接體現出人們對于世界的思想認知，從而通過自身所學的概率知識去解讀世界一些奇妙的問題。
了解簡單的發展史既可以增加學生的知識面，擴大學生的視野，還可以從這些歷史中，了解相關知識點與方法的產生背景，體會其中的思想、方法，增加學習興趣。由于課時時數的限制，這些內容學生雖然喜歡聽，但也不能用過多的時間去講，只需要簡單的點到為止，可以讓學生自學，他們在自學這些歷史的時候就自然會學到與歷史相關的數理統計知識點。
以上只是本人的教W經驗及與同事的討論結果，至于具體的教學方式，還是要根據學生情況來定。概率論與數理統計這門課學習的目的是為了培養學生的概率統計思維的能力，從而達到能夠利用概率統計的知識去解決實際問題，能夠用其觀點解釋常見的生活現象，因此我們在教學過程中要不斷的積累經驗掌握有效的教學方法，使學生學有所得。
參考文獻：
[1]劉國慶，王勇.探索概率統計教學的最佳模式[J].大學數學.2003，6
[2]宋偉才，吳艷霞，艾國平.大學概率統計課堂教學模式的探討與實踐[J].教育教學論壇.2012，2
[3]馮麗萍.大學概率統計課程與普通高中（新課標）統計概率內容的銜接[J].赤峰學院學報（自然科學版）.2012，7
[4]于志華，呂效國.概率統計的學習現狀及對策分析[J].統計教育.2007，9
[5]李建軍，劉力維.概率統計教學中滲透數學文化的思考[J].曲阜師范大學學報（自然科學版）.2013，4
[6]余長安.概率論與數理統計[M].武漢大學出版社.2007
關鍵詞：概率統計；數理統計；教育
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）09-125-01
概率論與數理統計是一門研究隨機現象統計規律性的學科，教學內容較多，難度較大，而教學時數少，因此，如何提高概率論與數理統計課程的教學質量是探討的熱點，筆者從以下四個方面作出了探索。
一、重視高中內容與大學內容的銜接
高中數學中隨機事件，頻率與概率，古典概型與幾何概型，條件概率與事件的獨立性，數學期望和方差等內容【1】與大學概率的內容有所重復。因此在講解這些內容時，可以由學生來講解高中部分的知識，在這個基礎上，教師再作出適當的拓展。這樣教學的重點就得以體現，概念的講解也不顯得突兀。
二、重視實例的引入
在概率論與數理統計教學中，有許多抽象枯燥的知識點，在講解的過程中學生易出現不愿思考和焦慮的現象。教師要注重實例的選擇，選擇的實例既要與時俱進，又要充分與專業相聯系。筆者所在的是軍事院校，所以在選擇實例時具有軍事特色。例如，在講解數學期望的時就引入航母得平均維修費用；在講解貝葉斯公式時，引入武器裝備損傷性的分析和大家都熟悉的“孩子和狼”的故事中，村民對這個孩子的可信度時如何下降的；這些實例來源于學生熟悉的軍事生活，從而大大激發了學生學數學用數學的興趣。
三、重視緒論課
好的開始是成功的一半。緒論課的成功與否關系到能否調動學生學習這門課的興趣。緒論課一般包含以下幾方面的內容：第一介紹概率論的起源與發展；第二介紹本課程的內容體系以及解決的問題，給學生一個全局的印象，知道概率將學習哪些內容；第三從生活實例出發，給學生一個直觀的認識，了解到概率來源于生活。
四、弱化計算技巧，重視應用
概率論與數理統計的傳統教學，重視計算技巧，推理和證明，教材中有大量的例題和習題，教師因為課時的限制想做到面面俱到實屬難事，常常說：要授之予漁。因此，教師必須對教材上的知識進行探索歸納總結，以點帶面，重視思想方法的教學，淡化計算過程。特別是連續性隨機變量的知識點要用到高等數學中的定積分，變上限積分，二重積分以及級數的知識，學生這些知識難免會遺忘，筆者在教學中的處理方法是適當的復習補充，再輔助matalab的應用。
概率論與數理統計的應用部分在數理統計，但是目前因為課時，大多數院校的教學中心在概率論的知識，部分院校在削減了學時后，只學概率而不涉及統計。 而且統計這部分內容公式繁多，計算量大，很多學生學完之后不知道如何應用。筆者結合這兩年的數學建模題講解統計學的原理，例如結合葡萄酒的分析，講解了數據的處理，總體的估計，置信區間等內容，
為了培養學生的應用能力，筆者經常從一個比較簡單的實際問題出發，通過分析整理以及數學的抽象，建立一個概率模型，通過對這個模型概率性質的研究，再應用到更復雜的實際問題中，這樣充分培養了學生學數學用數學的能力。
[關鍵詞]圖解法 概率論與數理統計 教學 案例
[中圖分類號] G642.4 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）01-0087-02
用圖形表示知識點能將抽象的問題形象化、寬泛的問題具體化、復雜的問題簡單化，使得學生易于理解和接受。[1]《概率論與數理統計》是大學期間學生所學課程中應用最廣泛、實用性最強的一門數學課[2] [3] [4] [5]，它是很多理工科的公共必修課，也是數學、信息計算、統計等專業的專業必修課。因為該課程側重理論學習，其中的很多原理或知識點若能通過圖形來表示，將增加該課程的趣味性、生動性[3] [4] [5]。教學中可以應用的圖解法大致包括：維恩示意圖、直譯示意圖、歐拉邏輯圖、提綱圖等等。基于多年的教學經驗，現將各種圖解方法在《概率論與數理統計》的應用，一一展現如下。
一、提綱圖一目了然
開篇介紹概率與數理統計的研究內容和研究發展，用提綱形式展示比較形象。
圖1 課程結構與發展
圖2 隨機變量類型
二、維恩圖示意清晰
第一章講隨機事件及概率，其中事件的關系與運算用維恩圖表示比較形象具體，易于學生理解。
圖3表示兩事件的和，事件A∪B={ω│ωA或ωB}={A，B至少有一個發生}。圖4為兩事件包含關系的維恩圖。其他的還有事件的積、差運算，以及事件互逆、互不相容等等的維恩圖表示，不再一一列舉。
圖3 兩事件的和 圖4 兩事件的包含關系
最典型的維恩圖是全概率公式的表示圖。設A1，A2，…，An是兩兩互不相容的事件，P（Ai）>0（i=1，2，…，n），且Ai=Ω，則對于任意事件B，有P（B）=P（Ai）P（B│Ai）。其關系見圖5。
圖5 全概率公式圖解
三、直接示意更加具體
設X是一個隨機變量，對于任意實數x，令F（x）=P（Z≤x）（-∞
圖6 一個隨機變量的分布函數示意圖
圖7 二維隨機變量的分布函數示意圖
設（X，Y）是一二維隨機變量，對于任意實數x，y，令F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}，稱F（x，y）為隨機變量（X，Y）的聯合分布函數。由上圖7可清楚的理解，二維分布函數是表示向XOY面投點，所投點落在（x，y）點左下方的概率。
圖8 置信區間示意圖
圖8為正態或t分布等對稱分布，求參數置信區間的示意圖，可以幫助學生理解置信區間的含義及做法。也適用于對稱分布的參數雙側假設檢驗的示意，落在兩邊小區域即拒絕域。
四、坐標軸圖解法容易解題
圖9 離散型隨機變量分布函數
上圖9為某離散型隨機變量X的分布函數，由分布函數的含義，可知此分段函數的跳躍度為隨機變量取間斷點的概率。由P{x≥1}=0.5，P{x
圖10 連續型隨機變量密度函數
上圖10為某連續型隨機變量X的密度函數曲線圖，由密度函數的定義及性質可知，隨機變量X落入區間（x1，x2）的概率為
圖11 正態分布密度函數圖像
圖11做了正態分布不同參數的密度函數曲線，可見σ越大圖形越平緩，呈現尖峰厚尾的特征，而x=μ即圖形對稱軸，決定了圖形的位置。
五、歐拉邏輯圖解法清楚明了
圖12 獨立與不相關的關系圖
由圖12可直接看出，獨立是不相關中的一種更特殊的關系。這是因為不相關是指沒有線性關系，沒有線性關系可以有其他關系，而獨立是指全方位的沒有任何關系。
六、結語
概率論與數理統計是一門非常貼近生活又非常有意思的一門課，在教學中充分利用圖解法進行講解，可以使這門課更生動、形象、具體，更具啟發性。[5]同時，這里介紹的圖解法也可以拓展應用于其他課程的教學中，這需要教師們進一步地研究和探索。
[ 參 考 文 獻 ]
[1] 李衛國.高職數學教學中的線性規劃圖解法運用[J].重慶科技學院學報（社會科學版）2010（5）：188-120.
[2] 黃海平.基于教師專業標準的高師數學課程設計研究與實踐――以數學教育特色專業主干課程_概率統計為例[J].大學教育，2013（6）：87-89.
[3] 楊火根.教學研究型工科院校概率統計課程建設的一些思考[J].大學教育，2012（11）：72-74.
【關鍵詞】案例教學法 概率論與數理統計 教學模式
一、案例教學法
案例教學法指的是通過一個具體教育情景的描述，引導學生對這些特殊情景進行討論的一種教學方法。具體到我們的教學中，可以聯系現實生活問題，建立數學模型或將實際問題經過加工處理成具體的數學問題，設立數學情境，讓學生針對從現實生活中抽象出的概率統計問題進行討論，得出自己的見解或加深對知識點的掌握和應用。進一步可以組織學生進行案例討論，根據學生實際情況安排討論小組，使各抒己見，充分表達各自的觀點，通過不同思維碰撞，最終形成一致的解決方案。教師的作用是創造自由討論的氣氛，啟發引導學生積極參與，使案例討論緊緊圍繞中心間題展開，根據各小組討論的不同情況給出相應的指導。討論結束后，教師要組織學生進行班內交流，實現學生間知識共享，鼓勵學生集思廣益。案例教學法實施過程中，適時的點評是非常有效的教學手段。對于學生遺漏的關鍵問題進行適時的點評，有助于引導學生對于案例事件分析的深人化，同時對于不同學生的表現，給予適時鼓勵，可以充分調動學生的主動性。案例結束后，教師要及時進行系統完整的知識總結，對于學生們尚未深人分析探討的間題，進行透徹的理論分析和實踐指導，通過案例教學，使學生獲得的知識更具系統性和條理性。
從教學法的角度來看，案例教學法的著眼點在于學生創造能力以及實際解決問題的能力的發展，而不僅僅是獲得那些固定的原理、規則。通過案例掌握如何以更有效的方式獲得知識。案例教學實際上是在經驗和活動中獲取知識，增進才干。在概率論與數理統計的教學中，案例是廣泛而豐富的。概率論與數理統計和數學其它基礎課程相比，公式和理論，邏輯和符號相對少些，在教學的過程中我們有條件、有精力進行案例教學。現代教學理念提倡的是學以致用，案例教學法給學生更多的時間思考實踐，好的案例也給學生提供了模板，更能將理論聯系實際，甚至在實際中完善理論，創造理論。最后，案例教學法相對于直白的講述法更易使學生產生興趣，使用案例教學法可讓學生對所學知識印象更為深刻，更易理解和接受。概率論與數理統計的教學好比是魚，而案例教學法好比是水，魚離不開水，而水有了魚才有生氣，兩者相得益彰，共同發展促進。
二、案例教學在概率論與數理統計中的應用
為了有效的實施案例教學，本文以對典型知識點構建經典案例為基礎，以學生獨立分析、分組討論、教師引導為教學手段，以激發學習興趣、培養綜合素質為教學目的進行案例教學模式的構建。主要研究內容包含以下三個方面：1.針對概率論與數理統計課程面向實際問題，解決實際問題的特點，教師如何構建出能夠引起學生思想共鳴的課程案例。2.以激發學生學習興趣為出發點，提出案例，啟發式教學，如何在有限的課堂時間內最大化的激發出學生對課程的興趣，使其不僅在課堂上，更能夠在課后時間積極主動的通過相關參考資料，自發性的學習。3.改變以往教學模式，重引導，重討論，輕灌輸式教育，如何以高效的分組討論方式培養學生的團隊協作精神，同時結合教材內容進行總結與評析，使學生真正掌握課程的重點和難點。
在講授概率論中的貝葉斯公式時，可以選用的大家熟知的“狼來了”的故事進行案例教學，激發學生的興趣。課前分小組布置任務：1.了解“狼來了”這個故事的具體內容，2.預習貝葉斯公式的內容，3.思考，為什么村民不再相信這個小孩，是否可以定量刻畫信任程度？上課時，首先讓一位同學復述該案例的內容，然后教師將相關內容用文本、圖形、聲音、影像等多種形式進行有機組合，做到先易后難，先感性后理性的過渡，體現學生的主體意識，提高學生的學習興趣。進而利用數學模型定量研究實際問題，分析故事中村民對這個小孩的可信程度是如何下降，也就是計算和比較事件在新的信息下的概率的變化，即條件概率。讓學生自己利用公式計算小孩第一次、第二次、第三次說謊后村民對他的可信程度。這個故事學生都比較熟悉，但貝葉斯公式初次接觸，把這兩者通過案例巧妙地結合在一起，既提高學生的學習興趣，又通過適當的課堂討論，在學習知識的同時還間接滲透誠信教育，可謂一舉多得。通過課堂討論和課后分組調研，學生不僅認真學習理論知識，還學會設計問卷建立模型，鍛煉了解決問題的能力。
通過國內外案例教學法體系的比較研究，教師在使用案例教學法時必須做到 1.對教學案例的統籌設計。教學設計應從整個課程體系層次進行統籌規劃，案例教學實施前，必須制定科學的目標和計劃，合理地設計出該教學的實施方案，設計配套的多元考核方式。2.加大對教學案例庫的建設。要本著“以學生為主體，以培養解決問題為口標”的理念，篩選出典型的案例。同時在設計案例時，要強調案例與所學知識的相關性、案例素材的典型性和案例的時效性。3.加強對指導方法的設計。在教學過程中，學生的前期準備、課堂中的積極思考和分析論證均有利于提高學生的分析問題、解決問題的能力，而提高的程度則依賴于教師恰到好處的引導與總結，所以，加強對指導方法的設計顯得尤為重要。
三、結束語
通過案例教學法將概率論與數理統計課程理論與實際相結合，能夠使學生自學能力、獨立分析解決問題的能力得到有效提升，學生的創新思維和實際創新能力得到加強，學生的個性和才能也能得到全面發展。通過對案例搜集及后期對例子進行合理的加工、整理和課后對相關案例進行的修正和更新，提高了教師在概率統計及其相關課程中的教學及科研水平。
參考文獻：
[1]陳佑清，吳瓊.課堂教學中如何指導學生進行探究[J]，中國大學教學，2012（11）：59-62.
[2]王瑋明，連新澤等.數學類專業研究性教學模式探索與實踐[J]，大學教育，2014（11）：123-125.
[3]林娟.概率統計課程教學中案例教學法的應用[J]，福建商業高等專科學校學報，2011（6）： 40-43.
【關鍵詞】數學分析 概率論與數理統計 數值分析
【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0155-01
數學是研究自然科學的基礎工具之一，對科技領域和現代生產實踐產生了巨大的推動作用。而《數學分析》作為信息與計算科學專業一門主要的專業基礎必修課，其教學的成敗對信息與計算科學專業的學生的數學素質的培養起著關鍵的作用。它是后續課程《常微分方程》，《概率論》，《數理統計》，《數值分析》等的基礎。《數學分析》中的有些知識點在這些課程中得到了直接的應用，需要在《數學分析》教學中加以強調及重視。以下就本人的所知總結如下：
一、歸結原則在《概率論》中的應用
定理1 若存在單調增（減）數列a■，滿足
（i）■an=x■，
（ii）數列■f(an)=A，
則有■f(x)=A（■f(x)=A）。
這個定理在《概率論》中證明分布函數F(x)的右連續性時起到了關鍵的作用。在《數學分析》中強調這個定理，將為學生理解分布函數F(x)的右連續性奠定基礎。
二、傅里葉變換的應用
《概率論》中分布的特征函數是研究隨機變量分布的一個重要內容。連續分布的特征函數和其概率密度是一一對應的。第一，特征函數在求隨機變量和中簡化了計算過程。第二，有些多元隨機變量的密度函數無法表示出來，但其特征函數是唯一確定的，例如多元正態分布，如果其方差矩陣非正定，其概率密度將無法寫出，但是其特征函數是唯一確定的。因此特征函數在研究多元隨機變量的分布中起到不可忽視的作業。而特征函數正是概率密度的傅里葉變換，在《數學分析》中強調傅里葉變換的定義，性質，對學生理解和運用特征函數奠定基礎。
利用傅里葉積分變換的性質求線性微分方程和線性微分方程組的解也是一個重要內容。
三、多元函數極點存在必要性的應用
1.最大似然估計是《數理統計》的一個重要內容，而求似然函數的最大值點的依據就是多元函數極點存在的必要性。
2.線性回歸分析中確定系數的最小二乘法的理論依據就是多元函數極點存在的充要條件。
3.條件極值是《數值分析》中求最優化解的主要方法,而拉格朗日函數正是求條件最優解的常用方法，在教學中可以聯系《數值分析》，有針對性的加以講解。
四、含參變量積分的應用
1.《概率論》中求邊際概率密度及求分布的特征函數的依據是含參變量的積分和含參變量反常積分性質。
2.《概率論》中伽瑪分布和貝塔分布是含參變量反常積分B函數和 函數的應用。B函數和г函數的定義，定義域，性質， B函數和г函數的關系在研究伽瑪分布和貝塔分布中起到了很重要的作用。如《數學分析》中的如下例題：
例：計算積分■e■dx
解：令t=x■，則■e■dx=■■e■t■dt=■г（■），
利用B函數和г函數的關系得到
B(■,■)=■г(■)■，
再利用B函數的另一表達式，得到
B(■,■)=2■dθ=π，
所以得到結論г(■)=■,■e■dx=■■e■t■dt=■г（■）=■。證畢。
在這個問題的證明過程中用到了B函數和г函數的關系，B函數的性質，而結論
г(■)=■, ■e■dx=■
更是《概率論》研究正態分布，伽瑪分布和貝塔分布數的關鍵。這個例子的證明及結論有針對性加以強調，對后續的《概率論》有重要的作用。
五、黎曼積分的應用
黎曼積分在物理和工程上有重要的應用，其定義和計算方法是《數學分析》的重要內容。在《概率論》，《數值分析》，《常微分方程》，《泛函分析》等后續課程中，黎曼積分的計算和性質是學生面對的一個難點.在《數學分析》教學中，可將后續課程的內容，有針對性加以強調。
六、《數值分析》的幾個知識點
誤差估計和近似計算是《數值分析》的兩個主要教學內容。
微分中值定理是誤差估計的主要理論依據。
函數項級數是近似計算的主要依據。
例如：計算■cost■dt。
解：因為cost■=■■其收斂域為t∈R。由冪級數性質，可知
■cost■dt=■■■dt=■■■t■dt=■■。
當k充分大是，可得到■cost■dt的近似值，而且可以估計近似值的誤差。
梯度方向是函數變化率最大的方向，在近似計算中可以加速近似計算的收斂速度,降低計算量。
了解后續課程的教學內容，在《數學分析》中有針對性的加以強調，或將后續課程的內容作為例題來講，可以激發學生的求知欲和好奇心，為后續課程的教學奠定基礎。
本人學識有限，關于《數學分析》在后續課程中的應用，還有待相關任課教師進一步完善。
參考文獻：
[1]《數學分析》（第三版），復旦大學數學系，歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋編，高等教育出版社
[2]《概率論與數理統計教程》（第二版），茆詩松，程依明，濮曉龍編，高等教育出版社
關鍵詞：概率論與數理統計；案例教學法；應用
中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0080-02
一、引言
隨著現代科學技術的不斷進步與計算機技術的飛速發展，無論在自然科學領域還是在社會科學領域中，傳統的肯定性數學已經不能合乎要求地解決所遇到的各類理論問題及應用問題，因而在這個過程中隨機性數學即概率論與數理統計得到了突飛猛進的發展[1]。長期以來，隨著概率論與數理統計在理論上不斷成熟與完善，它在自然科學、社會科學、工農業生產、工程技術等領域中的應用日益廣泛和深入。當今許多新興學科諸如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能等都以它為基礎；它與基礎學科相結合已發展出許多邊緣學科，如生物統計、統計物理、數理經濟等。基于上述實際應用背景，概率論與數理統計的重要性越來越受到人們的重視。概率論與數理統計課程已成為理工科各專業大學生的一門必修課程，也是目前全國研究生入學數學統考試題中重要內容之一。因此，學習與掌握概率論與數理統計的基本理論與應用，不僅是將來從事科學研究與工程實際工作的需要，也是繼續學習現代科學技術與個人深造的需要，也是高度發展的現代科學技術對現代化人才提出的基本要求[1]。
概率論與數理統計課程是研究和探索隨機現象統計規律的一門數學科學。通過本課程的學習，培養理工科學生靈活地運用概率論與數理統計的基本理論和方法處理和解決客觀世界中實際隨機現象問題的能力。然而，長期以來以老師為中心的灌輸式、填鴨式的《概率論與數理統計》教學模式過于側重理論推導和計算技巧訓練，忽視對學生解決問題的思想方法和應用能力的培養。在上述傳統教學活動過程中學生往往只是被動的聽眾，并沒有主動地參與教學活動，不能充分發揮學生的主動性和積極性，更談不上利用概率論與數理統計的方法去解決實際問題。因此，如何提高課堂效率和達到最佳教學效果成為從事此類教學工作的教師長期關注和研究的問題。針對這種情況，許多高校都提出了《概率論與數理統計》案例教學法[2-4，6-9]，而如何在課堂上實施案例教學成為教學工作者研究的重點內容。
結合多年的教學實踐，針對傳統教學法存在的不足，筆者就在《概率論與數理統計》課程的古典概型知識點的課堂教學中如何合理地應用案例教學法提出自己的一些認識和見解。
二、案例教學法的內涵及優勢
案例教學法自20世紀初被美國哈佛商學院倡導用于管理學教育以來，已被許多國家的教學實踐證明是一種具有啟發性、實踐性并有利于提高學生應用能力和綜合素質的教學方法[5]。
案例教學法是以案例為基礎的教學方法，教師在教學過程中，根據課程教學內容和教學目標的需要，選擇含有問題或疑難情境在內的真實發生的典型事件（案例），采用引導、啟發、參與等多種教學方式，通過深入分析、討論和交流的教學互動過程，以設計者和激勵者的角色組織學生積極參與課前精心設計的案例所提供的客觀事實和問題的分析和討論，提出見解并做出判斷和決策，從而加深學生對課堂教學內容理解和提高學生分析問題和解決問題能力的一種教學方法。案例教學法具有教學目的明確、引用案例客觀真實、對學生有深刻的啟發性、充分發揮學生主體性、較強的實踐性等特點，在實際教學過程中發揮著重要的作用[10]。
與傳統教學法相比，案例教學法具有明顯的優勢[6]，具體包括：①有利于提高學習的趣味性；②有利于調動學生學習的主動性；③有利于提高學生的語言文字表達能力；④有利于培養學生交流和合作的意識；⑤有利于實現教學相長。同時，大量研究表明：案例教學法可以調動學生學習的主動性與積極性，充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用，從而達到“教”和“學”的互動交流，增強師生之間的溝通，有助于生動活潑的課堂氣氛的形成。
三、案例教學法在課堂教學中的應用
1.案例教學法的應用步驟。根據案例教學法的上述內涵可知，案例教學法是在課堂教學中對案例進行深入分析和討論的基礎上引入某一基本概念或理論知識，并不是簡單地實例推理、求解，而這樣可以提高學生對這一知識的理解和掌握，進一步提高學生的學習興趣和增強學生發現、分析和解決實際問題的能力。因此在課堂上應用案例教學法時，通常要遵循以下幾個步驟。
（1）根據所講授的知識點內容，精選案例。案例與一般的例題不同，必須有產生問題的實際背景，并能夠為學生所理解，任何理想化的、脫離實際的例子都會誤導學生，從而失去教學的意義，這是實施案例教學的前提條件。選出的案例要求主題突出、有理論深度，而且具有真實性、針對性、典型性和時代性，是大家共同感興趣的話題。總體而言，為了達到良好的教學效果，應選擇與相應專業比較貼近的案例，以便調動學生學習的積極性。
（2）對挑選出的案例進行問題設計，做好案例的討論、分析。案例的討論與分析是案例教學的中心環節。對案例進行討論的目的是提出解決問題的途徑與方法，可以從自身角度出發來剖析案例，說明自己的觀點和看法。教師要掌握討論的進程，讓學生成為案例討論的主體，同時把握好案例討論的重點和方向，進行必要的引導。同時，在組織案例教學時要輔以各種有效的教學方法，如啟發式教學、討論式教學，讓學生積極參與，大膽發表意見，提出觀點，深入思考，激發學生的學習熱情及科研興趣，使案例教學效果達到最佳，培養學生運用概率統計原理解決實際問題的能力[2，7]。
（3）對所選的案例所解決的問題一定要進行歸納總結。案例總結是保證和提高案例教學質量的必備環節。對案例的總結一般要包括以下內容：一是對討論過程進行總結，對于一個案例，讓學生提出各種觀點及其案例所包含的概率統計原理，讓學生通過分析和評價案例，掌握正確處理和解決復雜多變的現實問題的思路與方法[2，7]；二是教師對案例中的重點、難點問題作補充或提高性的闡述，指出學生在分析案例時存在的問題，并提出需要進一步深入思考的問題[2，7]；三是教師自身在課后進行總結分析，所選取的教學案例是否恰當，與課堂知識點的結合是否良好，案例教學是否達到了預期效果，存在哪些問題，以便加以改進[7]。
2.案例教學法應用實例。在教授古典概型時，可以采用如下步驟進行案例教學。
（1）案例引入。引入擲骰子實驗，提出的問題是：①實驗的可能結果是什么，是否是有限的？②每一個實驗結果是否是等可能出現的，概率為多少？③擲骰子擲出偶數點的概率是多少？
（2）案例分析與討論。首先，分析擲骰子的實驗結果即樣本空間？贅={1，2，3，4，5，6}，從而得到實驗的結果是有限個；其次，討論每一個實驗結果是否等可能的發生，經過討論得出在骰子質量均勻分布情況下，每個實驗研究結果都是等可能發生的，從而得出每個實驗結果出現的概率為■；然后，在第二個問題討論的基礎上，得出偶數點的出現概率為出現點數為2、4、6的概率之和，即■+■+■=■=■。
（3）歸納總結。
（a）經過歸納可知，擲骰子實驗有兩個特點：①實驗的結果是有限的；②實驗的每個結果是等可能發生的。凡是滿足上述兩個特點的實驗，都屬于古典概型的范疇，從而引入了古典概型的概念。為了加深學生對古典概型的認識，也可以對拋硬幣、抽取產品、買彩票等實驗進行分析，以判斷它們是否為古典概型。
（b）授課教師在課堂上通過引導學生參與討論與分析，總結出古典概型中事件A的概率計算公式，即
P（A）=■
（4）實例應用。在公園門口，一個擺地攤的賭主將8個白色的、8個紅色的乒乓球放在袋子里。賭主規定：自愿摸彩者在交1元錢的“手續費”后，可一次性從袋子中摸出5個球；在摸出的5個乒乓球中，有5個紅球獎勵20元，有4個紅球獎勵2元，有3個紅球獎勵價值5角的紀念品，而僅有1個或2個紅球則無任何獎勵。由于本錢較少，許多圍觀者都躍躍欲試，有的竟連摸數十次，結果許多人“乘興而摸，敗興而歸”，獲獎者寥寥無幾，這是怎么一回事呢？請計算能獲得20元和2元獎勵的概率分別是多少？假如每天按摸球1000次計算，賭主一天可掙多少錢？
分析：由題意分析可得，從袋子中取球屬于古典概型，因此摸到紅球的概率計算可采用上述古典概型事件概率計算公式。從袋子中摸出5個球的情況共有C■■種，摸到5個紅球的情況有種C■■，摸到4個紅球的情況有種C■■C■■，摸到3個紅球的情況有種C■■C■■。因此，摸獎者獲得20元獎金的概率為C■■/C■■=0.0128，獲得2元獎金的概率為C■■C■■/C■■=
0.128，獲得紀念品的概率為C■■C■■/C■■=0.359。由此可以看出，摸獎者獲得20元和2元獎金的概率都比較低，所以許多人都“乘興而摸，敗興而歸”。假定一天摸球1000次，按照上述計算得到的概率值，獲得20元獎金的次數為13次，獲得2元獎金的次數為128次，獲得紀念獎的次數為359次，因此賭主支付的獎金總額為13×20+128×2+359×0.5=695.5元，而賭主收到的摸彩手續費為1000元，則賭主一天可掙1000-695.5=304.5元。
從上述實例中可以看出，摸彩是一種欺詐行為，賭主保贏不輸。通過上述案例教學，學生在課堂上不僅學習了新知識，還增強了自身對社會詐騙行為的防范意識，進而激發學生的學習興趣。
四、案例教學法的應用效果
與傳統的灌輸式教學方法相比，案例教學法可以充分發揮教學互動的優點，體現學生是教學主體，使原本枯燥刻板的數學概念、數學理論變得直觀易懂。教師結合案例的應用，用通俗易懂的教學方式將這些理論講細、講透，讓學生真正理解并掌握案例所涉及的理論知識，從而降低專業課的理論難度；案例教學法的討論模式既豐富了教學形式，又要求學生靈活地運用所學知識，模擬解決實際問題，促使學生主動思考、分析、解決問題；同時，學生間、師生間的合作分析與研討還可以鍛煉和提高學生合作共事與交流協作的能力[8，9]。
與其他教學法相比，在《概率論與數理統計》課堂教學中應用案例教學法可以更好地加深學生對基本概念的理解和對理論與方法的掌握；實施案例教學法可以顯著提高學生對《概率論與數理統計》課程的學習積極性與主動性，增強學生的實踐能力、創新能力、語言表達能力，從而取得良好的教學效果。
參考文獻
[1]時凌，魏代俊，吳勇.《概率論與數理統計》教學改革研究與探討[J].咸寧學院學報，2010，（30）：145-147.
[2]劉丹，陳仲堂，孫平，艾瑛.在《概率統計》課程中應用案例教學法的幾點思考[J].教育教學論壇，2013，（27）：60-61.
[3]徐榮聰，游華.《概率論與數理統計》課程案例教學法[J].寧德師專學報（自然科學版），2008，20（2）：145-147.
[4]畢淑娟，張俊超.《概率論與數理統計》課程案例教學法探析[J].繼續教育研究，2012，（2）：154-156.
[5]楊光富，張宏菊.案例教學：從哈佛走向世界――案例教學發展歷史研究[J].外國中小學教育，2008，（6）：1-5.
[6]傅文.案例教學法在《概率論與數理統計》教學中的應用[J].教育教學論壇，2013，（2）：72-74.
[7]謝振中.案例教學在概率論與數理統計課堂教學中的運用[J].新課程（上），2012，（2）：94-95.
[8]李春麗.案例教學法在“概率論與數理統計”教學中的運用[J].中國電力教育，2012，237（14）：83-84.
[9]王利超，呂丹，劉婷.“案例教學法”在概率論與數理統計教學中的應用[J].統計與咨詢，2009，（1）：42-43.
[10]于蘭，楊穎.案例教學法在“思想道德修養與法律基礎”中的運用[J].教育與職業，2013，753（5）：110-111.
